摘要
本研究评估并提高了填充因子(FF)常用表达式的准确性。研究探讨了可能影响修正后表达式准确性的参数，首先采用改进的拟合方法重新计算了常用解析表达式的经验系数。虽然修正后的表达式预测结果与理论单二极管模型模拟结果完全吻合，但与实际测量值相比仍存在差异。随后分析了表达式中未考虑因素的不同影响，研究表明调整理想因子或考虑边缘复合效应可提高预测精度。此外，对于具有非均匀隐含开路电压分布的电池，表达式可能会略微高估其填充因子。随着从发光图像提取电学参数的方法不断改进，本研究成果可为开发工业太阳能电池发光图像填充因子提取技术提供参考。
键词：填充因子 经验公式 理想因子 复合 非均匀性
1.1.引言
填充因子(Fill Factor, FF)是衡量太阳能电池性能的关键电学参数之一[1]。填充因子与太阳能电池的功率转换效率成正比(填充因子越高，效率越高)。它可以通过最大功率与短路电流Isc和开路电压Voc乘积的比值来计算。提取这些参数的方法之一是使用单二极管模型[2]，其方程式如下：
其中，J为电流密度，JL为光生电流密度，J0为暗饱和电流密度，V为电压，Rs为串联电阻，n为理想因子，VT为热电压，Rsh为并联电阻。
根据公式(1)，Green[3–5]推导出了填充因子(FF)作为Voc、Rs和Rsh归一化值的显式表达式。归一化变量汇总于表1中，而填充因子的显式表达式列于表2中。
显式表达式中的经验系数C₁、C₂、C₃、C₄和̂C₄最初是由格林通过拟合模拟数据确定的。然而，由于该论文发表时(20世纪80年代)的计算限制[6]，这些系数仅在其定义的电学参数范围的两个极端值处进行了拟合。此外，格林的拟合范围反映了当时常见太阳能电池的电子特性，其电学参数范围远大于现代工业硅太阳能电池的实际参数范围。
除拟合方法和范围之外的其他因素也可能影响表达式的准确性[7]：(1)单二极管模型中通常假设理想因子(n)为1，然而现代工业电池的n值通常大于1[8,9];(2)现有表达式基于考虑体复合和表面复合的单二极管模型[10]，但采用考虑边缘复合的双二极管模型(通过第二个具有理想因子n2和暗饱和电流密度J02的二极管实现[11])往往能获得更高精度[12–14];(3)单二极管模型和双二极管模型仅考虑电池整体平均值，因此可能无法准确表征非均匀电池[15,16]。
因此，本研究的主要目标是：(1)评估并提高现代工业太阳能电池填充因子(FF)显式表达式的准确性;(2)分析未考虑因素对改进后表达式准确性的影响。
表1
归一化电气参数 [5]
表2
填充因子经验表达式[5]
2.研究方法
2.1 经验系数的重新计算与评估
基于单二极管模型，共模拟了75万条电流-电压(I-V)曲线。研究采用了三种方法(分别记为A、B、C)来确定经验系数：
方法A复现了Green[6]的方案，即在其电学参数范围的边界处拟合系数;
方法B对Green方案进行了扩展，在其整个参数范围内进行系数拟合;
方法C则根据现代太阳能电池更窄的电学参数范围计算系数。
所有情况下的经验系数均通过非线性最小二乘法[17]计算，并采用均方根误差(RMSE)[18]评估其精度，具体表达式为：
其中，FFpred是通过显式表达式预测的FF值，FFact为模拟/实测值，N为数据点总数。均方根误差(RMSE)与误差平方均值相关，因此高度精确的拟合对应着接近零的RMSE值。
采用模拟曲线(75万条)与来自现代化工业太阳能电池生产线(平均效率为23%)的15,000块钝化发射极和背面接触(PERC)太阳能电池的实际I-V测量数据，对表达式的准确性进行了评估[19]。需注意的是，实验数据最初假设理想因子为1;这一假设将在后续章节重新评估。图1展示了该方法的流程概要。
图1. 经验系数重新计算与评估方法
2.2. 对显式表达式中未说明因素的探究
如第1节所述，实证模型中未考虑的因素通过实际I-V测量和电致发光[20](EL)图像进行研究。理想因子(n)和边缘复合(归因于J02[21])的影响分别被考量。总体框架如图2所示：通过非线性最小二乘法，利用随机选取的1000块电池的Voc、Isc、Rs和Rsh实测值及其填充因子(FF)计算出15,000块工业太阳能电池的理想因子。需注意仅使用部分数据集——这在生产线实际应用拟合时更具可操作性。记录各电池的独立数值后，将中位数理想因子(后文称为"有效"理想因子)应用于开发的实证表达式。随后重新计算整组电池的FF，并通过均方根误差(RMSE)与实测FF进行比对评估。该方法同样适用于边缘复合分析：基于双二极管模型对1000块随机选取电池的J02进行拟合。本研究假设第一、第二二极管的理想因子分别为1和2。引入第二二极管后FF表达式更为复杂，故采用Brent法[22]求解双二极管方程。
通过太阳能电池仿真软件Griddler 2.5 Pro[23]研究电池隐含开路电压(iVoc)非均匀分布的影响。除15,000块PERC电池的实际I-V数据外，还提供了对应EL图像用于生成仿真中的非均匀性模式：首先通过数据集中100块最均匀电池的EL图像平均创建"基准"图像;再将每块电池EL图像与基准图像相除得到比率图像，从而最小化栅线和主栅引起的非均匀性。非均匀程度由变异系数(CV)[24]确定：
其中σ为像素值的标准差，μ为像素值的均值。需注意发光强度比(L₁/L₂)与隐含电压差(ΔiV)之间的关系如下：
图2. 通过实际I-V测量研究理想因子和边缘复合的方法。
根据公式4，所有比率模式(ratio patterns)的平均iVoc被设定为680毫伏(mV)，这与实验数据集的平均开路电压(Voc)相近。随后计算了第一个二极管(J01)分布的等效饱和电流密度(以确保平均iVoc为680 mV)，并将其应用于Griddler模型。其他电学参数则采用了当前最先进太阳能电池的典型值(见表A.2)。接着确定了每个电池的填充因子(FF)，并与均匀电池的FF进行了比较。图3展示了该方法在一个3×3像素太阳能电池上的示例应用，实际使用的电致发光(EL)图像具有520×520像素。
3.结果与讨论
3.1. 经验系数的重新计算与评估
格林极限的参数条件为：开路电压Voc > 10 mV、串联电阻Rs < 0.4 Ω·cm²、并联电阻Rsh > 2.5 kΩ·cm²(用于方法A和B)。假设理想因子n=1，热电压VT=25.69 mV(25℃条件下)，短路电流密度Jsc=40 mA/cm²，则格林极限可等效为：Voc > 257 mV、Rs < 7 Ω·cm²、Rsh > 0.05 kΩ·cm²。随着光伏技术的发展，现代太阳能电池相比1980年代制造的电池具有更高的开路电压和并联电阻，以及更低的串联电阻。本研究采用了更严格的参数范围：Voc > 25 mV、Rs < 0.08 Ω·cm²、Rsh > 14 kΩ·cm²(用于方法C)。在相同假设条件下，该范围等效于：Voc > 642 mV、Rs < 1.4 Ω·cm²、Rsh > 0.24 kΩ·cm²。可以确信，当前所有工业生产的PERC电池都包含在这些修正后的参数范围内。
表3汇总了上述各方法提取的经验系数。无论采用何种拟合方法或拟合范围，所得到的C2值均相同。然而与原始系数相比，C1、C3和C4存在差异。所有方法计算得出的ˆC4均为零，这使得FFpred的表达式简化为：
这些系数可根据理想因子进行调整(参见表A.3)。我们提出的拟合方法也可适配于具有不同电气参数范围的其他电池技术。
图4展示了在不同归一化参数(开路电压Voc、串联电阻Rs及并联电阻倒数1/Rsh)范围内，通过上述不同方法计算得到的预测填充因子(FF)与模拟填充因子之间的误差。其中，采用在极值点拟合的格林系数("原始方法")所产生的误差如图所示。绿色(方法A)。如上所述，在方法B中，经验系数是通过整个参数范围拟合得出的。这些系数导致的误差以粉色标示。最后，仅通过现代工业参数范围内拟合计算得到的系数集("修正版")以橙色呈现(方法C)。同时列出了对应工业参数范围(黄色高亮部分)的均方根误差值。
表3
填充因子经验系数
图3. 通过实际电致发光(EL)图像研究非均匀初始开路电压(iVoc)的方法。更多细节请参阅正文。
图4. 预测FF(填充因子)误差与归一化电学参数的关系
一般而言，可以观察到rs和1/rsh的误差幅度相较于Voc更大。这意味着当Rs可忽略且Rsh为无穷大时，经验公式的精度更高。
尽管受计算限制仅使用了相对较少的模拟样本，并且仅在电学参数范围的极端值处进行拟合(因计算资源有限)，但原始系数对应的误差仍相对较小(Voc、Rs和1/rsh的均方根误差分别为0.008%、0.170%和0.069%)。通过将拟合范围扩展至整个参数区间，系数仅发生轻微变化，导致整体误差仅有边际改善(除Rs的RMSE从0.170%降至0.045%外)。
若将拟合范围限定在工业应用区间，公式对应的误差会显著降低，这表明修正后的系数更符合当前工业电池的特性。对于Rs而言，其在工业区间内的精度提升并不显著，这可能是因为该参数在此区间内取值极小，因此系数C3对填充因子(FF)预测的影响较为有限。
为便于直观呈现，图5(a)展示了在典型工业FF范围内(针对75万条模拟曲线)，改进表达式与原始表达式的精度对比。在该范围内，改进表达式和原始表达式的均方根误差分别为0.037%和0.058%。图5(a)显示的是FF预测的累积误差，而图4展示的是各电气参数的独立误差。因此，图5(a)中的误差值相对大于图4中的数值。
采用实际I-V测量数据评估的表达式精度如图5(b)所示。本研究中，将I-V测试仪报告的实测I-V参数(开路电压Voc、短路电流Isc、串联电阻Rs、并联电阻Rsh)代入经验公式来预测填充因子FF。这些电池的实际FF测量值介于79%至83%之间(注意密度标注)，其中绝大多数电池的FF值集中在82%-83%区间。虽然修正后的公式使预测精度略有提升(均方根误差从0.639%降至0.632%)，但无论是修正公式还是原始公式，其预测值均高于理想趋势线，在所有情况下都高估了FF值。这些误差表明，经验公式中未考虑的因素对这些公式的预测精度具有显著影响。
3.2 经验表达式中未考虑因素的调查研究
上述结果表明，利用解析表达式计算的光填充因子(FF)预测值与实测光填充因子之间存在偏差。这些偏差可归因于经验表达式中未考虑的因素，如非理想因子不等于1、边缘复合效应以及电池不均匀性等因素。
图5. 预测FF与模拟FF对比(a)及预测FF与实测FF对比
3.2.1. 非理想因子
图6(a)中的插图展示了基于I-V参数非线性拟合计算得出的1000个随机选取电池的有效理想因子。大多数电池的估算理想因子为1.05±0.01。需注意的是该数值会因电池组不同而有所波动，但针对任何特定数据集均可轻松确定。
随后将这1000个电池的有效理想因子(n=1.05)应用于整个数据集。图6(a)显示了预测填充因子随实测填充因子的变化情况。可以看出预测精度显著提升，大多数预测值已与实际测量值吻合，均方根误差从0.632%降至0.161%。这表明若采用数据子集确定有效理想因子并应用于整个数据集，可显著提升经验预测的准确性。
3.2.2. 边缘复合
图6(b)插图中展示了1000个随机选取电池单元的J02分布情况。需要说明的是，J02在双二极管模型中属于隐含参数，但可通过数值方法提取——本文采用布伦特法[22]进行求解。大多数电池单元的J02值分布在3±1 nA/cm²范围内。图6(b)展示了将有效J02值代入双二极管模型后，预测填充因子(FF)随实测FF的变化关系。与理想因子影响规律(第3.2.1节)类似，考虑J02参数后预测精度显著提升(均方根误差从0.632%降至0.164%)。由此可见，引入边缘复合效应可大幅提升FF估算精度。
虽然图中未能直观体现，但非理想因子与边缘复合效应的影响机制存在细微差异：前者基于单二极管模型，而后者通过双二极管模型表征太阳能电池(同时考虑了体复合与边缘复合效应)。
图6. 对FF预测的影响：(a) 非理想因子非1的情况和(b) 边缘复合。图表显示在纳入有效值后，预测FF与实测FF的关系。插图分别展示了1000个随机选取电池的计算n值和J02值分布。
3.2.3 非均匀性
前文分析表明，增加参数数量(n或J02)可提升电池I-V特性曲线的拟合精度。本节将探究空间依赖性参数的影响机制。研究采用Griddler 2.5 Pro软件，分别选取250组随机筛选的EL图像样本：第一组为填充因子(FF)预测误差<0.1%的"正确估计"电池，第二组为FF预测误差>0.5%的"高估"电池。
图7(a-c)展示了基准均匀电池、正确估计电池及高估电池的iVoc分布图。基准电池的iVoc全域稳定在680mV(变异系数CV=0);正确估计电池的iVoc在670-690mV区间波动(CV=0.22%);高估电池则存在多个iVoc<670mV的区域(CV=0.54%)。
图8(a)显示被研究电池的CV值分布：高估电池组平均CV值达0.42%，显著高于理想趋势电池组的0.25%。图8(b)对比了均匀与非均匀电池的FF误差分布，正确估计组与高估组的平均误差分别为0.01%和0.03%。这表明iVoc非均匀性会导致FF估值轻微偏高，且偏差程度随非均匀性加剧而增大。
模拟计算发现，当CV值达到1.5%(对应680mV平均iVoc下约10mV标准差)时，FF估值偏差约0.2%(绝对值)。研究还发现，当串联电阻Rs趋近于零时，iVoc非均匀性对FF预测的影响减弱——这是因为无电阻条件下载流子会实现全域均匀分布。
图7. iVoc映射示例：(a) 均匀基底电池，(b) 正确估算电池，(c) 严重高估电池
3.2.3.Non-uniformity
图8. (a) 250个正确估算的电池与均匀"基准"电池的CV对比;(b) 250个严重高估电池与基准电池的FF误差对比
图9. (a) 高估电池的Rsh分布与整体电池群的对比;(b) 高估电池的Voc分布与整体电池群的对比
3.2.4. 补充调查
输入参数(即实测的I-V参数)的不确定性也会影响填充因子预测的准确性。由于本研究未能直接使用I-V测试设备或接触实测电池(数据由行业合作伙伴提供)，我们对关键电学参数的分布特征进行了研究。图6中预测填充因子绝对误差>0.5%的太阳能电池被筛选出来进行分析。图9对比了高估电池组(绿色)与整体样本(粉色)的并联电阻(Rsh)和开路电压(Voc)分布。预测填充因子误差较大的电池(绿色直方图)呈现出明显的低并联电阻倾向，大量电池的并联电阻值<200 kΩ·cm²。这些电池的开路电压仅出现轻微下降(中位数≈677 mV，整体样本为680 mV)。根据模拟研究[25]，如此低并联电阻的电池开路电压本应低于600 mV。因此部分电池的预测值高估现象可能源于I-V测量误差，但这已超出本研究范畴，需后续深入探究。鉴于前人研究已证明发光成像技术可捕获iVoc[26]、串联电阻(Rs)[27]和并联电阻(Rsh)[28]等关键参数，未来工作可聚焦于直接从发光图像提取这些参数来计算填充因子，从而消除I-V测量可能带来的误差。
4.结论
针对现代工业硅太阳能电池，对先前发表的填充因子(FF)表达式精度进行了评估与改进。本文提出了一种修正方法，将经验系数适配至工业太阳能电池电气参数范围。修正后的系数提升了表达式精度，并与单二极管模型仿真结果吻合。然而，当将这些FF解析表达式应用于从工业电池获取的大量实验I-V数据时，发现预测FF与实测值之间存在较大误差。研究进而对经验表达式中未考虑的因素进行了探究，结果表明若忽略理想因子(n)或边缘已知复合率(J02)的情况下，预测精度会显著提高。研究还表明，非均匀的电池参数(如iVoc)可能导致对填充因子(FF)的轻微高估。除了提高常用表达式的准确性外，随着从发光图像中提取串联电阻(Rs)、并联电阻(Rsh)和iVoc方法的演进与改进，这项研究有助于开发直接从发光图像中提取填充因子的方法。
这篇论文的核心内容可以概括为：
研究动机：
提高对现代工业太阳能电池**填充因子(FF)**预测的准确性，FF是衡量太阳能电池性能的重要指标。
研究方法：
通过修正经验公式中的系数，使其与单二极管模型的模拟结果更好地吻合。
分析理想因子、边缘复合和非均匀性等因素对FF预测精度的影响。
使用实际太阳能电池的I-V测量数据和电致发光(EL)图像来验证和评估FF预测的准确性。
研究发现：
修正后的经验公式在一定程度上提高了FF预测的准确性，但与实际测量数据之间仍然存在差距。
理想因子
偏离1以及边缘复合效应对FF有显著影响。
非均匀的开路电压分布
可能导致FF被高估。
研究结论与意义：
论文改进了FF的预测模型，并指出了现有模型中可能存在的误差来源，研究结果可以为基于光致发光图像的FF预测技术的发展提供参考。
索比光伏网 https://news.solarbe.com/202505/27/389677.html
